%     Gravitación -> Capitulo 3.
%
% basado en la versión 1998-03-16
% ------------------------------------------------------------
%
%     Lista de cambios
%
% 1.  Samuel;
%     Se numeraron las figuras y ecuaciones que debian ser numeradas, se hizo 
%     referencia a ellas en la forma adecuada y se insertaron las figuras,
%     aunque no son las actualidas. También se cambio la nota al pie por nota
%     al margen.
%     Fecha: 2007-11-24
%
% 2.  Samuel;
%     Se agrego la figura 5, se agrego un espacio entre las palabras "del y 
%     camino" del pie de la figura. Se eliminaron dos integrales que se repetían,
%     antes del parrafo que comienza "Se ve muy claramente que...
%
% 3.  Paris; figuras
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: Puse el pie de las figuras despues de al figura, movi los
%     archivos a la carpeta con los TeX y quite la extención PDF.
%     Fecha: 2007-12-04
%
% n.  [autor]; Sec ; Parrafo #.
%     Decia: "";
%     Dice: "";
%     Comentario: [opcional]
%     Fecha: aaaa-mm-dd
%
% ------------------------------------------------------------
\chapter{El campo gravitatorio}

\section{El Campo Gravitatorio}

Desde nuestra m\'as tierna infancia, sabemos que en las cercan\'{\i}as
de la Tierra el espacio tiene una interesante propiedad:
si soltamos un objeto desde cierta altura (grande o peque\~na)
el objeto cae aceleradamente. Ahora que estamos m\'as viejos
tambi\'en sabemos que, en el espacio en torno al Sol,
todos los planetas son acelerados hacia nuestra estrella materna.

Esta es la idea b\'asica tras el significado de la palabra {\bf
campo} cuando la usamos en F\'{\i}sica: es una regi\'on tal que en
todos sus puntos detectamos ---o est\'a definida--- alguna magnitud
f\'{\i}sica espec\'{\i}fica. En el caso del campo que llamamos
{\sl gravitatorio}, la propiedad  de que estamos hablando es la aceleraci\'on
que adquieren las part\'{\i}culas colocadas en ellos y como la aceleraci\'on
es una  magnitud vectorial, el campo gravitacional es un ejemplo de
\textsf{campo vectorial.} Pero podr\'{\i}a tratarse de una propiedad
m\'as sencilla, una magnitud escalar. Pensemos, por ejemplo, en la
temperatura en los diversos puntos de una sala. Si en ellos colocamos
term\'ometros, cada term\'ometro indicar\'a una cierta temperatura, de modo que, en
un instante dado, a cada punto del espacio  $(x,y,z) $
corresponde un n\'umero: la temperatura que indica el term\'ometro
colocado all\'{\i},  o la tem\-pe\-ra\-tu\-ra que indicar\'{\i}a un
term\'ometro  si se lo colocase all\'{\i}. En este ejemplo, la correspondencia
es m\'as sencilla porque las temperaturas son magnitudes escalares.
A los campos como este campo de temperaturas de que estamos hablando,
se los llama  {\bf campos escalares,} pues la funci\'on definida en
cada punto es una funci\'on escalar.
%
$$ (x,y,z) \quad \mapsto \quad \hbox{un escalar} $$
El campo  gravitacional es m\'as complicado.
Es m\'as complicado porque es un {\bf campo vectorial}. Ahora, la relaci\'on
es del tipo
$$ (x,y,z) \quad \mapsto \quad \hbox{un vector}$$

Puesto que somos creyentes en  $\vec F = m \vec a,$ las aceleraciones
que experimentan las part\'{\i}culas inmersas en un mar gravitatorio
se las atribu\'{\i}mos a  {\sl fuerzas}, las  que  actuar\'{\i}an   sobre las
part\'{\i}culas.

Demos un paso m\'as:  si en la cercan\'{\i}a de  una
part\'{\i}cula de masa $M $ colocamos  otra part\'{\i}cula,  de  masa $m,$
postulamos que sobre \'esta
act\'ua una fuerza de  tama\~no   $GMm/r^2.$  Entonces,  si elegimos a  una
part\'{\i}cula de masa $ m=1 $  y, con ella, nos movemos en torno a la
otra,
de masa $M,$ en cada punto del espacio la part\'{\i}cula $m=1$
experimentar\'a una fuerza. Adem\'as, a cada punto del espacio podemos hacer
corresponder un vector  $\vec g(x,y,z), $  que nos indique esta fuerza
sobre la masa  unitaria.

Seg\'un la ley de gravitaci\'on, si suponemos que M
est\'a en el origen de un sistema de coordenadas, podemos escribir
de inmediato:
%
$$ \vec g(x,y,z) = \frac{-GM  \vec r }{ r^3} = -\frac{GM\, (x \widehat x +
y \widehat y + z \widehat z )}{ (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}.   $$

Adem\'as de representar a la fuerza sobre la unidad de masa colocada
en ese punto ---y, por lo tanto, medirse en Newton/kg---, la intensidad
$\vec g $ del campo  gravitatorio es igual a la aceleraci\'on gravitacional en ese mismo punto. Resulta entonces que todo el mundo
conoce al menos el  campo    gravitatorio  en una familiar regi\'on  del
espacio:  cerca   de     la  Tierra,   \hbox{$  g =  9.8  $ }
Newton/kilogramo.\marginpar{En nuestros laboratorios, $g=\pi^2=10$.} %Cabié gravedad por gravitacional en el renglón 73 y el 80.
N\'otese que, como el vector campo gravitacional $\vec g$
es  igual  a  la  a\-ce\-le\-ra\-ci\'on  gravitacional  en  el  punto  en
cuesti\'on, si multiplicamos el vector intensidad de campo por la masa de  la part\'{\i}cula  que
all\'{\i}   se encuentre, obtenemos la fuerza sobre la part\'{\i}cula.

Insistimos:  tanto la famosa ley de gravitaci\'on
$ F = GMm/r^2,$ como la expresi\'on que hemos escrito para el campo
gravitatorio, {\bf son v\'alidas solamente para part\'{\i}culas}. El
campo gravitatorio en torno a una
part\'{\i}cula tiene simetr\'{\i}a esf\'erica en torno a ella y var\'{\i}a
inversamente con el
cuadrado de la distancia a la  part\'{\i}cula.  El campo gravitatorio en torno a
un ladrillo (u  otro objeto  irregular cualquiera)  {\bf no} tiene
simetr\'{\i}a
esf\'erica ni var\'{\i}a inversamente con el cuadrado de
 {\it la distancia al ladrillo}.
(De inmediato  nos  topar\'{\i}amos aqu\'{\i} con problemas,
ya  que  ni siquiera  hemos definido
el significado de  ``distancia al ladrillo").

Entonces,  ¿c\'omo es el campo gravitatorio producido por el planeta en que
vivimos?  La   Tierra  es  demasiado  complicada,  as\'{\i} es  que
comenzaremos con un problema  mucho m\'as sencillo.

Para los
matem\'aticos, no es lo mismo una bola que una esfera. Para ellos,
esfera es algo as\'{\i} como {\sl la c\'ascara de una naranja},
mientras que una bola es {\sl la c\'ascara con todo y naranja}, de modo que
un conjunto de esferas puede definir una bola. Lo m\'as f\'acil de
calcular es el campo producido por una esfera, que es algo as\'{\i}
como la c\'ascara de una naranja o una pelota de ping-pong. Para
simplificar nuestra vida, supondremos  que la masa por unidad de
\'area de esta pelota es la misma en toda su superficie.
Una vez que hayamos obtenido este campo, por superposici\'on
obtendremos el campo de una esfera maciza.

Desde luego, en el centro mismo de la esfera el campo debe ser cero,
por simetr\'{\i}a. Si en el centro colocamos una part\'{\i}cula,
\'esta ser\'a igualmente jalada para todos lados, de modo que la
fuerza resultante sobre ella es cero, lo que implica que
all\'{\i} el campo tambi\'en es cero.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap03_fig01}}
\caption{\textbf{Dentro} de una c\'ascara esf\'erica, el campo es cero.\label{cap3:f1}}
\end{figure}

¿Y si no estamos justamente en el centro de la esfera?
Aunque es algo inesperado, el campo es nulo en cualquiera
de los puntos interiores. Sigue produci\'endose una milagrosa
cancelaci\'on de fuerzas, aunque el punto est\'e ciertamente m\'as
cercano a una regi\'on de la esfera que a otras.
El argumento que muestra que en el caso de una fuerza del tipo
$1/r^2,$ el campo en el interior de una esfera hueca es cero, se debe a  Clerk
Maxwell.
%
% En que a\~no vivi\'o Maxwell ?
%
Maxwell razon\'o como sigue: si por el punto P (en que interesa
encontrar el campo) dibujamos un doble--cono, correspondiente a un
\'angulo s\'olido muy peque\~no, \'este va a delimitar
sobre la esfera a dos peque\~nas  regiones, cuyas \'areas llamaremos  $A_1$ y
$A_2$.  Estas regiones corresponden a dos \'angulos s\'olidos
iguales, de modo que $ A_1/A_2 = r_1^2/r_2 ^2 $.
Estas \'areas tienen ---respectivamente--- masas $m_1$ y $m_2$,
que son directamente proporcionales a los
cuadrados de las distancias que van, desde el punto P, a las regiones
$A_1$ y $A_2 $. La proporcionalidad directa del \'area con el cuadrado de la
distancia, compensa exactamente a la disminuci\'on de la
fuerza con el cuadrado de la misma distancia, de modo que los
campos producidos por $m_1 $ y $m_2 $ se anulan mutuamente.
Ahora generalizamos pensando que, con v\'ertice en P, dibujamos
una infinidad de dobles--conos que no se superponen, pero
tales, que las \'areas que determinan sobre la esfera la
cubren completamente. Se concluye entonces que el
campo, en el interior de una delgada c\'ascara esf\'erica, es cero.

Es mucho m\'as f\'acil experimentar con campos el\'ectricos que con campos
gravitacionales. El campo electrost\'atico tambi\'en es del tipo $ 1/r^2 $ y
tambi\'en cumple con el principio de superposici\'on, de modo que el campo
el\'ectrico, en el interior de una esfera cargada, tambi\'en ser\'a
cero $\ldots $ ¡a menos que el exponente de $r,$ en la ley de Coulomb, no sea
\underbar{exactamente} 2! Esta es la base de un experimento muy famoso destinado
a medir la masa del fot\'on, aunque hay f\'{\i}sicos serios que creen no
necesitar para nada a los fotones.

En cuanto al campo producido en el espacio exterior a la
esfera hueca, obtenerlo es un mero ejercicio de c\'alculo integral que,
por aburrido, lo relegamos a uno de los cap\'{\i}tulos finales.
De todas maneras, el resultado final es curioso:

\begin{angosto}
En el exterior de una c\'ascara esf\'erica, el campo gravitatorio
producido por ella es igual al producido por una part\'{\i}cula
cuya masa sea igual a la masa total de la c\'ascara y que est\'e
en el centro de ella.
\end{angosto}

Despu\'es de encontrar este resultado, uno puede  rascarse
la cabeza,  pregunt\'andose de qu\'e otro modo podr\'{\i}a haber sido.

La c\'ascara atrae, como  si toda  su  masa  estuviese  concentrada
en su  centro. Una consecuencia directa de esto es que las bolas, a
las que podamos imaginar hechas de capas homog\'eneas  sucesivas,
tambi\'en atraen como si toda su masa estuviese concentrada en su
centro (pero los ladrillos ¡no!).

Todas las preguntas que podamos hacernos respecto campos resultan mucho m\'as simples si algo sabemos del teorema de Gauss. Realmente Gauss invent\'o muchos teoremas, pero el que nos interesa aqu\'i es uno que se refiere al flujo de un campo atrav\'es de una superficie. Lo enunciamos y explicamos en una nota al final. Ahora solamente me interesa mencionar el resultado principal cuando se trata del campo gravitatorio producido por una distribuci\'on esfericamente sim\'etrica de materia: la intensidad a la distancia $r$ es igual al que produce una part\'cula colocada en el centro de la esfera y cuya masa sea igual al total de la masa en el interior de la esfera de radio $r$. N\'otese la exigencia de \textsf{simetr\'{\i}a esf\'erica}.

Conclusi\'on:  puesto que  la  Tierra es aproximadamente esf\'erica y su
densidad quiz\'as sea solamente una funci\'on de la distancia al
centro, podemos usar el teorema de Gauss, si llamamos $M$ a la masa total de la Tierra, una primera
aproximaci\'on,    para    el    campo
gravitatorio \textsf{fuera de la Tierra}, es
%
\begin{align}
\label{cap3:ec1}
\vec g = -\frac{GM}{ r^2}\, \widehat r
\end{align}

Esto es una suerte:  no  tenemos que memorizar una nueva f\'or\-mu\-la,
puesto  que \'esta es  igual a la que nos da el campo producido  por  una
part\'{\i}cula.

Despu\'es de toda esta argumentaci\'on, alguien puede  preguntar c\'omo es
realmente el   campo gravitacional
\textsf{dentro}  de   la Tierra. Si ese alguien pretende contestar
usando a sangre fr\'{\i}a la ecuaci\'on (\ref{cap3:ec1}), por cierto estar\'{\i}a cometiendo
el und\'ecimo pecado capital:  usar  una  f\'ormula en
una  regi\'on para la  cual  no  fue deducida. Como
castigo,  conviene  darse cuenta  que en el centro de
la  Tierra no hay  una singularidad matem\'atica, sino mucha  Tierra.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap03_fig02}}
\caption{Ficci\'on cient\'{\i}fica: Si se trata de una esfera homog\'enea, el campo gravitacional dentro de ella crece linealmente con la distancia al centro. La Tierra no es homog\'enea y a la derecha mostramos aproximadamente la variaci\'on de $g$ con la distancia al centro.\label{cap3:f2}}%dibujo pag. 25 versión Gaby
\end{figure}

Un objeto colocado en el mero centro de la Tierra ser\'{\i}a igualmente
jalado desde todos lados,  de modo  que la  fuerza neta sobre \'el
es cero. ¿Y si no estuviese justo en el centro?

Para contestar esto, debemos reinterpretar los resultados
anteriores. Si estamos dentro de la Tierra, digamos, en un punto a la
distancia $r$ de su centro, estamos  en  la  superficie  de una
esfera  de radio~$r$ y tambi\'en estamos dentro de una c\'ascara
esf\'erica.

La c\'ascara esf\'erica no produce ning\'un campo en el punto en que
estamos, as\'{\i}  que solamente sentiremos el  campo producido por toda la
masa {\sl dentro}  de  la  esfera  de  radio $r.$ Llamemos $M_r $ a esta masa.

Si la densidad fuese uniforme, la  masa  de  esta esfera interior
ser\'{\i}a  proporcional con  $r^3,$
mientras que  la fuerza  es proporcional con $ 1/r^2,$
de donde finalmente resulta  que  la fuerza es proporcional
con la distancia al centro  de  la Tierra. La constante de proporcionalidad se
puede encontrar f\'acilmente, ya que se conoce la fuerza en el centro y en la
superficie de la Tierra. Se tiene
%
\begin{align*}
\vec g (r) & = -\frac{GM_r}{r^2} \widehat r = -\frac{GM(r^3/R^3)}{r^2}\,\widehat r \\
& = - \frac{GM}{R^3} \vec r \\
&  \approx - 1.5 \times 10^{-6}  \vec r
\end{align*}

En otras palabras, si la Tierra tuviese la misma densidad en todas
partes, en su interior el campo
gravitacional ser\'{\i}a directamente proporcional con la distancia al
centro de la Tierra. Ser\'{\i}a cero justo en el centro e ir\'{\i}a
creciendo linealmente con la distancia, alcanzando el valor
9.8  N/kg  en la superficie.

Pero la densidad de la Tierra no es uniforme. Los datos geo\-l\'ogi\-cos
indican que un mejor modelo consiste en imaginar a la Tierra dividida
en 5 capas conc\'entricas, tal como se indica en la tabla \ref{cap3:t1}.

\begin{table}[h]
\caption{Datos del interior de la Tierra.\label{cap3:t1}}
\centering{
\begin{tabular}{lccc}
{\bf Capa}       & Fronteras               & Densidad       & g         \\
                  & km                      & gr/cm$^3$      & m/seg$^2$ \\ \hline
N\'ucleo central  & $\phantom{112}0<r<1221$ & 12.9           & \phantom{1}4.40 \\
N\'ucleo exterior & $1221<r<3489$           & 10.9           & 10.68 \\
Manto inferior    & $3480<r< 5701 $         & \phantom{1}4.9 & 10.01 \\
Manto superior    & $5701<r< 6347 $         & \phantom{1}3.6 & \phantom{1}9.83 \\
Costra            & $6347 <r< 6371$         & \phantom{1}2.4 & \phantom{1}9.81 \\ \hline
\end{tabular}}
\end{table}

En la \'ultima columna, se indican los valores de la aceleraci\'on
de gravedad en la frontera exterior de cada capa. Un buen ejercicio
es usar los n\'umeros que aparecen en las primeras columnas,
para obtener los de la \'ultima. N\'otese que, en este mo\-de\-lo m\'as
realista, la aceleraci\'on de gravedad no toma su valor m\'aximo en
la superficie de la Tierra, sino un poco m\'as abajo. Este mo\-de\-lo
tambi\'en hace sospechar que la discontinuidad, en la pendiente de
la curva en la figura \ref{cap3:f2}, debe ser producto de nuestra
supersimplificaci\'on, consistente en suponer que la Tierra es una
esfera homog\'enea.

Fuera de la Tierra, en primera aproximaci\'on, el campo var\'{\i}a como
$1/r^2,$ pero realmente el campo es m\'as complicado,  ya que la
Tierra no es una esfera perfecta ni su densidad es uniforme. Un modelo
m\'as realista para la Tierra consiste en reconocer que su densidad no es
uniforme, pero se la puede suponer constitu\'{\i}da por capas, como
una cebolla. Entonces resulta que, en el gr\'afico de la figura \ref{cap3:f2}, desaparece
el punto en que hay dos tangentes, la curva se suaviza y la
aceleraci\'on de gravedad m\'axima no ocurre en la superficie.

Una  vez demostrado  que  el  campo exterior  a una  esfera  homog\'enea
corresponde exactamente al campo de una part\'{\i}cula, es juego de ni\~nos
demostrar  que dos  esferas se  atraen como si toda  su masa estuviese
concentrada en sus respectivos centros.  Esta  idea  suele quedar  tan
fija en las mentes juveniles, que algunos la repiten como si fuese una
gran ley de la naturaleza, cuando en verdad se trata solamente de una
gran excepci\'on.

Dos ladrillos {\bf no} se  atraen como si  sus  masas
estuviesen  concentradas  en sus  centros,  ni tampoco dos  pianos  se
atraen como si fuesen dos part\'{\i}culas.  En  el  caso  de los
pianos es
f\'acil  ver que,  aun si mantenemos  constante  la  distancia entre  sus
centros,  la fuerza  de atracci\'on  depender\'a de  la orientaci\'on de los
pianos...respecto a las estrellas. Para convencer a los esc\'epticos,
mostraremos que una barra {\bf no} atrae como si toda su masa estuviese
concentrada en su centro.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap03_fig03}}
\caption{Atracci\'on entre una barra y una part\'{\i}cula.\label{cap3:f3}}%figura de la versión gaby, pág. 28.
\end{figure}


Escrita  en  su forma  habitual,  la ley de gravitaci\'on solamente es
v\'alida entre part\'{\i}culas. Tenemos entonces que recurrir al m\'etodo de la
salchichoner\'{\i}a alemana: {\sl in  mente}, trozamos  la  barra  en una gran
cantidad de pedacitos, de largo  $dx.$
Somos flojos,  as\'{\i} es que supondremos que la part\'{\i}cula est\'a
colocada en un lugar desde donde es f\'acil calcular, en la prolongaci\'on del
eje de la barra. Adem\'as, supondremos que se trata de una barra muy delgada y
homog\'enea.
Si L es el largo de la barra y su  masa  M, entonces la masa, por unidad de
largo, es $\lambda = M/L. $  Llamemos  {\it m} a la masa de la
part\'{\i}cula ---colocada como se indica en la figura \ref{cap3:f3}---,
siendo $a$  la distancia que va desde la part\'{\i}cula, al extremo m\'as
pr\'oximo de la barra.

Si consideramos un pedacito de largo $dx$
que est\'a a la distancia  $x$ de  la part\'{\i}cula   $m,$  entonces la
fuerza que este trocito ejerce sobre la part\'{\i}cula es
%
\begin{align*}
dF =  \frac{Gm(\lambda dx)}{ x^2}
\end{align*}


Si queremos la fuerza total, tenemos que sumar. Resulta
\begin{align*}
F & = \int_{a}^{a+L} \frac{Gm \lambda dx}{x^2} = - \left. Gm\lambda\frac{1}{x} \right| _a ^{a+L} \\
F & = Gm\lambda ( \frac{1}{a} -\frac{1}{a + L}) \\
& = \frac{GMm}{ a^2 + aL}
\end{align*}


Para que se vea claramente que la barra \ \u{no} \ atrae como si toda su masa
estuviese concentrada en su centro, llamemos $F_0 $ a la fuerza con que una
part\'{\i}cula, de masa igual a la de la barra y colocada en el centro
de \'esta,
atraer\'{\i}a a $m.$ Naturalmente se tiene,
\begin{align*}
F_0  =GMm/(a+L/2)^2
\end{align*}
% 
y como
$$ \frac{F}{ F_0}\; =\; \frac{a^2 + aL + L^2/4 }{a^2 + aL} $$
%
se ve de inmediato que $F \ne F_0, $ puesto que su
cociente no es igual a  1. Solamente para $ a \to \infty $
las fuerzas tienden a igualarse. Esto pod\'{\i}a anticiparse,
pues, vistas desde muy lejos, todas las barras (finitas) se confunden con
simples part\'{\i}culas.

Hay   especialistas   en calcular campos producidos por todo tipo de
distribuciones de materia.
Se  puede anticipar que los problemas de este tipo  pueden ser tan
complicados  como  uno quiera y  no nos vamos a entretener mucho
en ellos.  Lo  que s\'{\i}  haremos ser\'a revisar una noci\'on muy importante,
porque puede ayudarnos a resolver problemas de este  tipo  y
muchos  otros:  nos   referimos  a  la  noci\'on  de  energ\'{\i}a
potencial.

\section{Energ\'{\i}a potencial en el campo gravitatorio}

Volvemos a encontrarnos con la noci\'on de energ\'{\i}a. No es
por mala suerte, sino porque es una noci\'on muy importante. A los
que esperan una definici\'on de energ\'{\i}a que sea corta, precisa
y abarcadora, el \'unico consuelo que  les puedo ofrecer es mi
definici\'on predilecta, debida al poeta William Tate: {\sl
energ\'{\i}a es la capacidad para hacer maldades}, una excelente parodia de una
pseudo--definici\'on que a\'un se oye cuchichear en algunos barrios
altos: {\sl
energ\'{\i}a es la capacidad para efectuar trabajo.}

Ciertamente la energ\'{\i}a no es una {\bf cosa},  sino un concepto,
un artefacto, un producto del arte e ingenio del hombre.

Ya conocemos la definici\'on de energ\'{\i}a potencial. La encontramos
cuando estudiamos los resortes, el oscilador arm\'onico simple y otros
osciladores no tan simples.

\begin{angosto}
Se llama energ\'{\i}a
potencial, a una funci\'on  $U(x,y,z)$ tal que su gradiente, calculado en
un punto cualquiera  $ x,y,z $ ---y con el signo cambiado---, es igual a la
fuerza  que el campo ejerce sobre una part\'{\i}cula  de masa \ m \ colocada
all\'{\i}.
\end{angosto}

Si no recuerdas bien lo de gradiente, consulta el Cap\'{\i}tulo XI, donde
hay unas p\'aginas dedicadas a \'el.

El gradiente es un operador que al actuar sobre un campo escalar
$U(x,y,z), $ nos produce un campo vectorial. Una de sus  definiciones
posibles es
%
\begin{align*}
\grad U =  \frac{\partial U}{ \partial x} \widehat x+ \frac{\partial U}{ \partial y} \widehat y+ \frac{\partial U}{ \partial z} \widehat z
\end{align*}


Esta definici\'on es \'util si trabajamos en coordenadas cartesianas
ortogonales, pero hay que cambiarla para otros tipos de coordenadas,
asi que los matem\'aticos tambi\'en han propuesto definiciones m\'as
generales (ver por ejemplo el libro de Joos). Otra definici\'on buena
bonita y barata es decir que el gradiente de $U$  es aquel artefacto
que cumple con $ dU = \hbox{grad}U\cdot d \vec r.$


En el caso especial en que la funci\'on $U$ represente la distancia al
origen, se puede mostrar que el gradiente de $U$ es igual al vector unitario en
la direcci\'on de $ \vec r$. En efecto, como ahora $ U=
\sqrt{x^2+y^2+z^2} $, se tiene
%
\begin{align*}
\frac{\partial U}{ \partial x} = \frac{2x}{ 2\sqrt{x^2+y^2 + z^2}} =  \frac{x}{ r}
\end{align*}
%
y expresiones an\'alogas para $\partial U/\partial y$ y para
$\partial U/\partial z$, de donde resulta que
%
\begin{align*}
\grad r & =  \frac{x}{r}\widehat x + \frac{y}{r} \widehat y + \frac{z}{r} \widehat z \\
& = \widehat r.
\end{align*}
%
Es f\'acil verificar que si $f(r)$ es una funci\'on que depende solamente
de $r$, la distancia al origen, entonces
$\hbox{grad\,}f(r) = \widehat r (df/dr) $.
Esto lo aprovecharemos para calcular el  gradiente de la funci\'on U
que aparecen en 1). Encontramos  que
%
\begin{align*}
- \grad U =  \frac{GMm }{ r^2} \, \widehat r
\end{align*}
%
y si le cambiamos signo, vemos que efectivamente grad\,U nos da la fuerza
de gravitaci\'on. As{\i} es que $U = -GMm/r $ es justamente la funci\'on
energ\'{\i}a potencial gravitatoria.

Uno puede inventar las definiciones que quiera, pero la pregunta
clave es: ¿es \'util esta definici\'on de energ\'{\i}a potencial?
¿Existe realmente una funci\'on con la propiedad de que su
gradiente es igual a menos la fuerza?

Ya sabemos que, en el caso del
campo gravitatorio, la funci\'on gradiente s\'{\i} existe, pu\'es
hemos reencontrado la expresi\'on de la fuerza tomando el gradiente de la
funci\'on energ\'{\i}a potencial, pero es bueno
tener una condici\'on f\'{\i}sica esencial. Si la fuerza de
gravitaci\'on fuera dependiente de la velocidad de las part\'{\i}culas,
no habr\'{\i}a una funci\'on energ\'{\i}a potencial, aunque uno nunca
puede estar seguro, porque lo que es imposible hoy, ma\~nana s\'{\i}
puede ser posible porque en altas horas de la madrugada un
matem\'atico ha generalizado la definici\'on de energ\'{\i}a potencial
u hecho alguna otra maldad.

Para explicar el sistema solar, Newton no
necesit\'o suponer que la fuerza con que el Sol act\'ua sobre el
planeta Marte dependiese de la velocidad de Marte, ni de
la aceleraci\'on de Marte, ni menos a\'un de $d\vec a/dt $ de Marte.
La interacci\'on no es as\'{\i} de simple en el caso de la interacci\'on
entre cargas el\'ectricas, pues, para empezar, adem\'as de la
distancia entre ellas, la fuerza tambi\'en depende de la
velocidad de las cargas.

\section{Insensibilidad de las Energ\'{\i}as Potenciales}

Las  energ\'{\i}as potenciales son insensibles  a las  constantes
aditivas.
Con esto queremos decir que, si a la funci\'on  energ\'{\i}a potencial
anterior le agregamos una constante cualquiera, digamos
$U_{\circ},$
%
\begin{align*}
U(x,y,z) = - \frac{GMm}{ r} + U_{\circ}
\end{align*}
% 
al derivar encontraremos la misma fuerza
de antes, $ (- GMm/r^2) \widehat r. $

En  vez de  decir  que   las  energ\'{\i}as  potenciales son  insensibles
a  las constantes aditivas, podr\'{\i}amos decir que las energ\'{\i}as
no tienen significado f\'{\i}sico y que  solamente las {\bf diferencias}
de energ\'{\i}a lo tienen,  ya que, al formar las diferencias $\ldots$
las constantes aditivas desaparecen.

De todos modos, conviene observar el significado que tendr\'{\i}a
$ U_{\circ} $ si insistimos en poner  $ U(r) = -GMm/r + U_{\circ} $.
En este caso, para un sistema constitu\'{\i}do por dos
part\'{\i}culas infinitamente alejadas entre s\'{\i},
se tendr\'{\i}a que $U(\infty) = U_{\circ} $. En otras palabras,
$U_{\circ} $ ser\'{\i}a la energ\'{\i}a potencial que nosotros
decidimos atribuirle a las dos part\'{\i}culas infinitamente
alejadas. Este $U_{\circ} $ podr\'{\i}a ser cualquier n\'umero
y no interferir\'{\i}a con nuestros resultados, pero tendr\'{\i}amos
que andarlo arrastrando en todas nuestras ecuaciones. Es mucho m\'as
c\'omodo entonces suponer que, cuando dos part\'{\i}culas estan
separadas por una distancia infinita, su energ\'{\i}a potencial
es cero. Es lo que haremos de aqu\'{\i} en adelante: escribiremos
simplemente $ U(r) = - GMm/r $. Al hacerlo, impl\'{\i}citamente
estaremos diciendo que hemos decidido instalar el cero de energ\'{\i}a
potencial en el infinito.

\section{Potencial dentro de un pozo}
Sabemos que si la Tierra fuese homog\'enea, la fuerza que
actuar\'{\i}a sobre una part\'{\i}cula ubicada en un pozo, \u{no} es inversamente
proporcional
con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra, sino que es
directamente proporcional  con esa distancia. Si
llamamos $m_r $ a la masa en el interior de una esfera de radio $r$
y $m$ a la masa de la part\'{\i}cula, mientras que $M$ es la masa total de la Tierra, se tiene
%
\begin{align*}
F & = \frac{G m_r m}{r^2} = \frac{GM(r^3/R^3)m}{r^2} \\
& = \frac{GMm}{R^3} \,  r 
\end{align*}

A esta  fuerza, en el interior de un pozo, corresponde la energ\'{\i}a
potencial~$U_i$
%
\begin{align*}
U_i = \frac{GMm}{ 2 R^3}\, r^2 + C
\end{align*}
%
en que la constante C puede tener el valor que queramos. Esta libertad
podemos usarla para ajustar el valor de las energ\'{\i}as potenciales
dentro de la Tierra y fuera de ella. Cuando el cero del potencial
externo lo colocamos en el infinito, entonces el valor del potencial
externo justo en la boca de un pozo es  $U_e = - GMm/R $.
Para ajustar ambos potenciales en  $r = R,$ bastar\'{\i}a poner
%
\begin{align*}
U_i = - \frac{GMm}{ 2R}\,\Big( 3 - \frac{r^2}{ R^2}\Big)
\end{align*}

En todo caso, como en las energ\'{\i}as potenciales las
constantes  aditivas no tienen mayor importancia, a esta
ecuaci\'on ni siquiera le ponemos un n\'umero.

\section{$Mgh$ \ versus  $-GMm/r$ }

Para mucha gente del Tercer Mundo, el primer contacto con la idea de
energ\'{\i}a potencial ocurre a trav\'es de la f\'ormula--receta $ U = mgh.$
Como los primeros contactos suelen producir impresiones muy
profundas, suele persistir una confusi\'on respecto a cu\'ando
usar la antigua receta $ U = mgh $ y cu\'ando usar la nueva,
$ U = -GMm/r.$ Para terminar con esta confusi\'on lo mejor es tener los
conceptos tan claros, que $ U = mgh $ y  $ U = -GMm/r $  dejen de ser
simples recetas, que se usan sin entender.

Hemos definido a la funci\'on energ\'{\i}a potencial a trav\'es de
la operaci\'on gradiente, pensando que es m\'as f\'acil derivar que
integrar, pero  ciertamente hay otras maneras de apearse del
caballo.

Imaginemos a una part\'{\i}cula que se mueve en un campo
gravitacional y que va desde un cierto punto A, hasta otro punto
B. Durante todo este trayecto la fuerza gravitacional estuvo
actuando sobre ella, por lo que podemos preguntarnos por
el trabajo realizado por \'esta fuerza. Este es
%
$$  W = \int _A ^B \vec F_{grav} \cdot d\vec s = \int _A ^B -\frac{\partial
U}{ \partial \vec s} \cdot d\vec s = - \int_ A^B dU = U_A - U_B $$

Al aparecer  la {\bf diferencia}  de energ\'{\i}as potenciales
en esos  puntos,  desaparecen  las  constantes  aditivas.

Vamos a aplicar  las nociones anteriores al caso  de la Tierra.  Sabemos
que  aunque    la  Tierra   dista    mucho   de  ser  una
part\'{\i}cula,   en
primera aproximaci\'on su  campo gravitatorio exterior es del mismo tipo  que
si  proviniese de una part\'{\i}cula  que est\'a   en su   centro.
Para los que vivimos en este planeta, el suelo es el punto final de
todas  nuestras ca\'{\i}das, as\'{\i}  que el lugar m\'as natural para
instalar el cero de energ\'{\i}a potencial no es el infinito, sino
el suelo. Entonces,  como la
energ\'{\i}a potencial  gravitatoria siempre se puede  escribir
 $$ U(r) = \frac{-GMm}{ r} + U_{o} $$
para que resulte igual a cero cuando  $r = R_{tierra},$ tendr\'{\i}a
que ponerse $ U_{\circ} =  + GMm/R_{tierra}. $

Adem\'as de fijar el nuevo cero de energ\'{\i}a potencial en la
superficie de la Tierra y no en el infinito, podr\'{\i}amos preguntarnos
cu\'anto   cambia    $U(r)$ si nos alejamos solamente un
poquitito  de  Tierra.  Si  vamos,  por  ejemplo,  desde  la distancia
$r=R$  hasta  la  distancia   $r=R  +dr, $ en que $dr $ es muy
peque\~no comparado con el radio terrestre.

Usando  nuestros  profundos conocimientos de c\'alculo, podemos escribir
la respuesta de inmediato:
$$  dU  = \frac{dU}{ dr}\Bigr|_{\lower.2ex \hbox{$ \scriptstyle r=R
$ }} \negthinspace dr = \frac{GMm}{ R^2} dr $$

A la constante  $GM/R^2 $  generalmente se la llama   ``g'' y
como estamos suponiendo que en la superficie de la Tierra U es cero,
resulta que la energ\'{\i}a potencial a la altura $dr $ ser\'{\i}a
$$ dU = mg dr $$

Si instalamos ejes de coordenadas de modo que el plano XY est\'e horizontal y
el eje OZ apunte hacia arriba, entonces $ dr = z $
\begin{align*}
U = mgz
\end{align*}

Esto es el origen de lo que nos ense\~naron en el \textit{kindergarten}.  Se ve que
$U = mgh$ es un caso especial de $$ U(r) = -\frac{GMm}{ r} + U_{o} $$
cuando se supone que

\begin{itemize}
\item[i)] U = 0  en la  superficie de  la Tierra y no en  el
infinito;
\item[ii)] el eje  $OZ$ apunta verticalmente hacia arriba,  y
\item[iii)] el desplazamiento  z  es peque\~no, comparado con  $R$.
\end{itemize}

Se ve que todo  est\'a  en  $U = -GMm/\,r + \, U_{o} $.  A $U = mgh $ lo
usan los ingenieros civiles que dise\~nan estructuras bajitas, pero
cuando se proyectan viajes espaciales, usamos  $U = -GMm/ r
$.

En resumen, podemos pensar que la energ\'{\i}a potencial
gravitacional  es
\hbox{$U  = mgz  $ } solamente  si, para nuestros fines, basta suponer que el
campo gravitatorio es constante, que el nivel cero de energ\'{\i}a
potencial est\'a a nivel del cero del sistema de coordenadas y que $\ldots$
el  eje $OZ$  apunta verticalmente  hacia arriba.  Si los ejes apuntasen en
otras direcciones,  entonces habr\'{\i}a que repensar  la expresi\'on de
$U.$

Aunque  la  energ\'{\i}a cin\'etica  nunca puede  ser  negativa, la
energ\'{\i}a potencial s\'{\i}   puede serlo.  Usando $ U = mgz  $ como
nuestra expresi\'on para la energ\'{\i}a potencial, se  ve que la energ\'{\i}a
potencial de un sapo, en el fondo de  un pozo,  ser\'{\i}a negativa.
F\'{\i}sicamente, esto no es m\'as misterioso  que  pensar  que   el  aire
l\'{\i}quido  pueda tener una  temperatura negativa.

\section{Conservaci\'on de la energ\'{\i}a}

Ya vimos que, si una part\'{\i}cula se mueve entre dos puntos
cualesquiera A y B de un campo gravitacional, el trabajo
realizado por el campo se puede escribir
$$ W = \int _A^B \vec F \cdot d\vec s = U_A - U_B $$
Por otra parte, este mismo trabajo es una medida del cambio de
energ\'{\i}a cin\'etica, as\'{\i} que
\begin{align*}
W = \frac12 m v _B ^2 - \frac12 m v_A ^2  = T_B - T_A
\end{align*}
%
de modo que, autom\'aticamente, se cumple que
\begin{align}
\label{cap3:ec2}
T_A + U_A = T_B + U_B
\end{align}

Para cualquier par de puntos A y B, la energ\'{\i}a total en el punto
A es igual a la energ\'{\i}a total en el punto B. Dicho de otro
modo, en un campo gravitatorio la energ\'{\i}a mec\'anica \u{total}
se conserva.

No tenemos derecho a pensar que se ha hecho un gran des\-cu\-bri\-mien\-to, ya
que con toda malicia hemos definido a la energ\'{\i}a cin\'etica
y a la energ\'{\i}a potencial de modo que su suma sea constante. Lo
notable es que haya casos en que realmente existe una funci\'on $U(x,y,z) $
tal, que la diferencia $U(A) - U(B) $ nos d\'e el trabajo realizado por
el campo cuando la part\'{\i}cula va desde $ A \to B $.

\subsection*{Un ejemplo}

Para  darle  m\'as  sentido f\'{\i}sico  a nuestra  discusi\'on,
analicemos  un caso especial.  Su\-pon\-gamos  estar en la
Luna (para que no nos moleste la fricci\'on con el aire) y que
tenemos un ladrillo, que vamos a dejar caer desde una altura $h $.
En el estado inicial, suponemos que tanto el ladrillo como
la Luna est\'an en reposo, de modo que la energ\'{\i}a \u{total} del
sistema (Luna + ladrillo) coincide con su energ\'{\i}a
potencial $ U = GMm/(R + h).$ Naturalmente, en este
caso $ M $ y $m$ deben ser ---respectivamente---, la masa de la Luna
y la del ladrillo.

En el estado final de su ca\'{\i}da, el ladrillo estar\'a chocando con la Luna
con una velocidad $\vec V,$ mientras que la Luna (por conservaci\'on
del momentum) estar\'a subiendo al encuentro del ladrillo, con una
velocidad $\vec u$. La masa de la Luna es tan grande, comparada
con la masa del ladrillo, que  casi toda la energ\'{\i}a cin\'etica
corresponde a este. Podemos escribir
%
\begin{align*}
\frac12 m V^2 = \frac{GMm}{ R} - \frac{GMm}{ R + h}
\end{align*}

Tambi\'en podemos  considerar el proceso inverso. Tenemos un
ladrillo  que inicialmente est\'a en reposo,  al  que le aplicamos  una fuerza
vertical  y lo  levantamos una distancia   D.

La verdad es que no podemos empujar al ladrillo hacia ``arriba" sin
al mismo tiempo empujar hacia abajo a la Luna,
de modo que transferimos una  cierta  cantidad  de
energ\'{\i}a  al  sistema (Luna  + ladrillo) y no solamente al ladrillo. Es como si estir\'asemos un resorte invisible entre
Tierra y ladrillo. Parte de la  energ\'{\i}a que conseguimos al tomar
desayuno est\'a ahora almacenada en ese resorte.

La experiencia ha
mostrado que  una buena medida  de la  transferencia de energ\'{\i}a  entre
nosotros y el  sistema (Luna +  ladrillo), es  el  trabajo
que nosotros hayamos realizado. En este caso, nosotros realizamos
trabajo tanto con nuestras manos (al empujar el ladrillo) como con
nuestros piernas, al empujar a la Luna.
De nuevo, como la masa de la Luna es tan grande comparada con la
del ladrillo, el punto de aplicaci\'on de la fuerza que aplicamos
con nuestros zapatos pr\'acticamente no se mueve, de modo que podemos
considerar nulo el trabajo que hacemos con los pies.

Si llamamos
$F_m $ a la fuerza que aplicamos al ladrillo con la mano,
el trabajo realizado por nosotros es
\hbox{$ W =   \int \vec F _m \cdot d \vec r $ }.

La fuerza que  aplicamos nosotros no es la \'unica fuerza que act\'ua
sobre  el ladrillo,  ya que  la Luna lo jala hacia abajo.
Si queremos obtener informaci\'on respecto a la energ\'{\i}a
cin\'etica del ladrillo, debemos tomar en cuenta todas
las fuerzas que act\'uan sobre \'el, en un trayecto
determinado. Luego podemos usar la conservaci\'on de la
energ\'{\i}a y pensar que el ladrillo es el \'unico que
se mueve. Esta aproximaci\'on es buena en este caso,
porque el ladrillo es muchis\'{\i}simo m\'as liviano que la
Luna.

\section{La energ\'{\i}a total es constante}

La gran utilidad del concepto de energ\'{\i}a es que
la suma de la energ\'{\i}a cin\'etica y la potencial es constante.
Vamos a verificar esto, en el caso especial del movimiento en un campo
gravitatorio. En este caso, la ecuaci\'on de movimiento es
%
\begin{align}
\label{cap3:ec3}
m \frac{d  \vec v }{ dt} = - \frac{GMm  \vec r }{ r^3}
\end{align}
%
y la energ\'{\i}a total es
%
\begin{align*}
E = \frac12 m v^2 - \frac{GMm}{r}
\end{align*}

Vamos a calcular $dE/dt$ y veremos que es cero, lo que impl\'{\i}ca
que la energ\'{\i}a total es constante. Es un vulgar ejercicio de
c\'alculo, pero vale la pena comprobarlo, al menos una vez.
%
\begin{align}
\label{cap3:ec4}
dE/dt = m \vec v \cdot \frac{d \vec v}{ dt} - \frac{d}{dt}\,\frac{GMm}{r}
\end{align}

La \'ultima derivada es un poco odiosa, as\'{\i}  que la vamos a calcular
por separado. Recordemos que $ r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} $, de modo que
%
\begin{align*}
\frac{d}{dt}\, \frac{GMm}{r} & = -\frac{GMm}{r^3} (x\, \dot x + y\, \dot y + z\, \dot z) \\
& = -\frac{GMm}{r^3}\, (\vec r \cdot  \vec v )
\end{align*}

Llevando esto a la ecuaci\'on (\ref{cap3:ec4}),
%
\begin{align}
\label{cap3:ec5}
dE/dt = ( m \frac{d \vec v}{ dt} + \frac{GMm\vec r}{ r^3})\cdot\vec v
\end{align}

Pero lo que est\'a dentro del par\'entesis es igual a cero, seg\'un
la ecuaci\'on de movimiento (\ref{cap3:ec3}). Conclu\'{\i}mos entonces que la energ\'{\i}a
total es constante.

N\'otese que esto significa que \textsf{la energ\'{\i}a
total tiene el mismo valor  en todo instante}, mientras algunos textos
dejan la impresi\'on que la constancia de la energ\'{\i}a significa
solamente que ``la energ\'{\i}a antes" de un evento (por ejemplo
una ca\'{\i}da) es igual a ``la energ\'{\i}a despu\'es" de ese
evento.

\section{Magnitudes insensibles al camino}

As\'{\i} como se clasifica a las
magnitudes en dos grandes familias, las vectoriales y las escalares,
tambi\'en hay otra distinci\'on posible: magnitudes que dependen
del camino que sigamos y magnitudes independientes del camino.

Si viajamos a pie entre Veracruz y Alvarado, ciertamente
la cantidad de suela de zapato que gastemos depender\'a del
camino que sigamos entre estas dos ciudades. Si elegimos un
camino que vaya desde Veracruz a Alvarado pasando por Acapulco,
es casi seguro que gastaremos m\'as zapato del que gastar\'{\i}amos al
elegir un camino menos ex\'otico. El ``gasto de zapatos" es un ejemplo muy
claro  de una magnitud que s\'{\i} depende del camino que sigamos.

\begin{figure}[h]
\centering{\includegraphics[scale=0.4]{./grav/cap03_fig04}}
\caption{Ya sea que sigamos el camino $C_1 $ o el $C_2$, el desplazamiento total es el mismo, $\overline {AB}$, pero obviamente los caminos tienen distinto largo.\label{cap3:f4}}%super dr. p 44
\end{figure}

Si nuestro viaje transcurre entre dos puntos bien determinados de
las ciudades de Veracruz y Alvarado, entonces, sea cual sea el camino
que sigamos, la diferencia de altura entre el punto de salida
y el punto de llegada ser\'a la misma, cualquiera que sea el
camino que  hayamos seguido. Este es un ejemplo de magnitud
que no depende del camino recorrido.

Y a\'un otro ejemplo, casi trivial: si vamos desde un punto A hasta otro
B, entonces el \u{desplazamiento} total  $\vec D = \int d\vec s $
\underbar{no} depende del camino seguido. Ya sea que viajemos por el
camino $C_1 $ o el camino $C_2 $, los desplazamientos  son
iguales,  $\overline{AB} $.

No ocurre lo mismo para $ \int ds, $  la \underbar{distancia} recorrida,
pues hay caminos m\'as largos que  otros.

Aunque los novatos tranquilamente quitan y  ponen  flechitas
encima de los s\'{\i}mbolos matem\'aticos, el ejemplo anterior
muestra que hay una gran diferencia entre $ \int d\vec s $ y
$\int ds $.  Esta diferencia aparece con m\'as fuerza si consideramos un
circuito cerrado, es decir, un camino que parte desde un cierto lugar
y vuelve al mismo sitio.

\begin{figure}[h] 
\centering{\includegraphics[scale=0.3]{./grav/cap03_fig05}}
\caption{Ejemplos de magnitudes independientes y dependientes del camino.\label{cap3:f5}}
\end{figure}

\begin{align*}
\int d\vec s = 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \int ds = \left\{\text{Largo del circuito} \right\}.
\end{align*}

Se ve muy claramente, que cuando sumamos a lo largo de todo un circuito
(cerrado), una de las sumas es cero, pero la otra no.
%
Una cosa parecida ocurre al calcular  los trabajos realizados por algunas
fuerzas. Si tomamos el caso m\'as sencillo de campo, digamos
el campo en la cercan\'{\i}a de la Tierra, la fuerza que
act\'ua sobre una part\'{\i}cula es constante; digamos, $\vec F_0 $.
El trabajo realizado por esta fuerza en un circuito cerrado
es
\begin{align*}
W = \int \vec F_0 \cdot d\vec s = \vec F_0 \cdot \int d\vec s = 0
\end{align*}

Ya sab\'{\i}amos que el campo gravitacional cercano a la Tierra
es un campo conservador, puesto que conserva la energ\'{\i}a, de modo
que el resultado anterior es s\'olo una manera m\'as cr\'{\i}ptica de
decirlo.

Pero no solamente si nos restringimos a las vecindades de la tierra
el campo gravitatorio es conservador. Tambi\'en es conservador
si nos alejamos bastante de ella.

En efecto, al calcular el trabajo en un
circuito cerrado cualquiera, que parte y llega a un mismo punto P,
tenemos
%
\begin{align}
\label{cap3:ec6}
W = \int \vec F \cdot d\vec s = \int - \frac{\partial U}{ \partial\vec s} \cdot d\vec s = - \int dU = U\Big|_P ^P = 0
\end{align}

Hay una correspondencia total entre las afirmaciones ``este
campo es conservador'' y  ``existe una funci\'on energ\'{\i}a
potencial de la cual podemos derivar la fuerza". Tambi\'en se puede
demostrar que si  {\sl el trabajo realizado en un {\bf circuito cerrado
cualquiera} es nulo}, entonces la fuerza es derivable de un potencial.

Para que no se crea que lo anterior ocurre para todas las fuerzas,
veamos un contra--ejemplo. El m\'as aristocr\'atico de todos es
el de la fuerza de fricci\'on. A\'un la m\'as simple de las
fuerzas de fricci\'on es complicada. Es complicada, porque depende de
la velocidad. Sabemos que siempre apunta en la direcci\'on contraria
al vector velocidad relativa entre los objetos que rozan, de modo que
a\'un en el caso m\'as simple, tenemos que escribir
%
\begin{align}
\label{cap3:ec7}
\vec F_{friccion}  =  -C \,\widehat v
\end{align}
% 
en que $C $ es una constante y $\widehat v $ es un vector
unitario, en la
direcci\'on de la velocidad.

Si calculamos el trabajo hecho por una fuerza de este tipo, en un
circuito cerrado, obtenemos
%
\begin{align*}
W & = \int C (- \widehat v) \cdot d\vec s = - C  \int \widehat v  \cdot \vec v dt \\
& =  - C \int ds = - C \times \text{largo del circuito,}
\end{align*}
%
de modo que el trabajo realizado por la fricci\'on, en un circuito
cerrado, {\bf no es cero}. Esto corresponde al hecho de que la fuerza de
fricci\'on no es conservadora, sino que disipa energ\'{\i}a mec\'anica,
generando calor.

\section{Conservaci\'on de la Energ\'{\i}a y Ley de Movimiento}

Si hacemos un alto en la parte m\'as alta del camino, podremos
repasar lo ya recorrido y ver, desde otra
perspectiva, algunos de los lugares por los que pasamos.

Empujamos un auto con una fuerza $\vec F $ durante un cierto
tiempo, digamos, desde $t_1 $ hasta $t_2$. ¿Qu\'e efecto
conseguimos? Al menos, en cierto sentido, nos preguntamos
por el efecto ``acumulado en el tiempo" que produce una fuerza,
ya que tenemos que calcular  $\int \vec Fdt $. Si la fuerza
$\vec F $ es la fuerza neta sobre el auto, entonces
%
\begin{align}
\label{cap3:ec8}
\int_{t_1}^{t_2} \vec F dt & =  \int_{t_1} ^{t_2} \frac{d \vec p}{dt} dt \nonumber\\
& =  \int_{t_1} ^{t_2} d\vec p = \vec p(t_2) - \vec p(t_1) 
\end{align}
%
lo que no es sino la forma integral de la segunda ley de Newton.

En forma totalmente an\'aloga, podemos preguntarnos por el efecto
``acumulado en el espacio" de una fuerza, es decir, podemos
preguntarnos por la integral  $\int  \vec F \cdot d\vec s $.
Ya conocemos la respuesta: si se trata de una part\'{\i}cula de
masa constante y si $\vec F $ es la fuerza neta que act\'ua sobre
ella, entonces, si a la energ\'{\i}a cin\'etica la simbolizamos
mediante la letra T,
\begin{align}
\label{cap3:ec9}
\int _A ^B \vec F \cdot d \vec s = \frac12 m\, v^2\, \Big| _A ^B =dT\, \Big| _A ^B = T_B - T_A
\end{align}
%
y cuando $\vec F$ es derivable de un potencial U, tambi\'en se tiene que
%
\begin{align}
\label{cap3:ec10}
\int _A ^B \vec F \cdot d \vec s  =  - dU\, \Big| _A ^B
\end{align}

Todas las piezas del rompecabezas ajustan perfectamente. A partir de leyes de
movimiento  fuimos a dar a un principio de conservaci\'on, as\'{\i}
es que podemos esperar recorrer el camino inverso, esto es,
ir desde las leyes de conservaci\'on a las leyes de movimiento,
al menos en el caso de las fuerzas derivables de un potencial.
Al menos en una dimensi\'on, tiene que ser posible ir desde la ley de conservaci\'on
$$   d\,(T + U ) = 0 $$
a las leyes de movimiento. {\sl Tiene} que ser as\'{\i}, al menos
cuando se trata de fuerzas derivables de un potencial. En un ap\'endice
al final discutimos m\'as en detalle este asunto.

Naturalmente en los casos en que hay fricci\'on, la ener\-g\'{\i}a
me\-c\'a\-ni\-ca no se conserva, pues parte de ella se gasta en calentar los
objetos que interact\'uan.

Luego vamos a considerar una de las aplicaciones m\'as interesantes
de todo esto en un problema gravitacional: la puesta en \'orbita de
sat\'elites terrestres. Pero antes, veamos  un caso especial de sistemas
gravitantes.  
